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本节介绍因数的基本性质及超椭圆曲线的雅可比矩阵。

定义31(因数 , 次数 , 阶数)因数D是C中的点的形式和：$D=\sum_{P\in C}m_{P}P ,m_{P}\in Z$，其中只有有限的$m_{P}$是非零的。D的次数，记为$degD$，是$\sum_{P\in C}m_{P}$。$D$在$P$处的阶数$m_{P}$，记$ord_{P}(D)=m_{P}$。
所有因数的集合记为D，在加法规则下形成一个可加群：$\sum_{P\in C}m_{P}P+\sum_{P\in C}n_{P}P=\sum_{P\in C}(m_{P}+n_{P})P$。
所有次数为$0$的因数组成的集合，记为$\bf{D^{0}}$，是$D$的子群。

定义32(因数的公约数)令$D_{1}=\sum_{P\in C}m_{P}P , D_{2}=\sum_{P\in C}n_{P}P$为两个因子，$D_{1}$与$D_{2}$的最大公约数定义为：$gcd(D_{1},D_{2})=\sum_{P\in C}\textrm{min}(m_{P},n_{P})P-(\sum_{P\in C}\textrm{min}(m_{P},n_{P}))\infty$(注意到$gcd(D_{1},D_{2})\in \bf{D^{0}}$)。

定义33(有理函数的因数)令$R\in \bar K(C)^{*}$。$R$的因数是$div(R)=\sum_{P\in C}(ord_{P}R)P$，注意到若$R=G/H$则$div(R)=div(G)-div(H)$。定理29表明有理函数的因数确实是一个有限形式和并且次数为0。

例34若$P(x,y)$是$C$上的一个平凡点，则$div(u-x)=P+\bar P-2\infty$，若$P(x,y)$是$C$上的一个特殊点，则$div(u-x)=2P-2\infty$。

引理35令$G\in \bar K[C]^{*} , div(G)=\sum_{P\in C}m_{P}P$，则$div(\bar G)=\sum_{P\in C}m_{P}\bar P$。

证明：由引理28易得。

若$R_{1} , R_{2}\in \bar K(C)^{*}$则由引理25可得$div(R_{1}R_{2})=div(R_{1})+div(R_{2})$。

定义36若对某些有理函数$R\in \bar K(C)^{*}$，$D=div(R)$，则因数$D\in \bf{D^{0}}$称为主因数。所有主因数组成的集合，记为$\bf{P}$，是$\bf{D^{0}}$的子群；商群$J=\bf{D^{0}/P}$称为曲线$C$的雅可比矩阵。若$D_{1} , D_{2}\in \bf{D^{0}}$，当$D_{1}-D_{2}\in \bf{P}$时我们记为$D_{1}\sim D_{2}$，$D_{1}$与$D_{2}$被称为等价因数。

定义37(因数的支持)令$D=\sum_{P\in C}m_{P}P$是一个因数，$D$的支持是集合$\textrm{supp}(D)=\{P\in C|m_{P}\neq 0\}$。

定义38(半约化因数)半约化因数是形如$D=\sum m_{i}P_{i}-(\sum m_{i})\infty$，其中每个$m_{i}\geq 0$且$P_{i}$均为有限点使得当$P_{i}\in \textrm{supp}(D)$则$\bar P_{i}\notin \textrm{supp}(D)$，除非$P_{i}=\bar P_{i}$，此时$m_{i}=1$。

引理39对每个因数$D\in\bf{D^{0}}$存在一个半约化因数$D_{1}(D_{1}\in\bf{D^{0}})$使得$D\sim D_{1}$。

证明：