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本节介绍单值化参数的概念，以及有理函数的零点和极点的阶数。

定义18(零点，极点)令$R\in \bar K(C)^{*},P\in C$。若$R(P)=0$则记为$R$在$P$有一个零点。若$R$在$P$处没有定义则记为$R$在$P$处有一个极点，此时我们记为$R(P)=\infty$。

引理19令$G\in \bar K(C)^{*},P\in C$，若$G(P)=0$，则$\bar G(\bar P)=0$。

证明：套定义算就行，过程略。

定理23中使用引理20、21和22，证明了单值化参数的存在性。

引理20 令$P(x,y)$是$C$上一个点。假定$G(u,v)=a(u)-b(u)v\in \bar K[C]^{*}$在$P$处有一个零点，且$x$不是$a(u),b(u)$的根。则$\bar G(P)=0$当且仅当$P$是一个特殊点。

证明：式子一列就看出来了。

引理21 令$P(x,y)$是$C$上一个平凡点，$G=a(u)-b(u)v\in \bar K(C)^{*}$。若$G(P)=0$，且$x$不是$a(u),b(u)$的根。则$G$能被写为$(u-x)^{s}S$的形式，其中$s$是$(u-x)$能够整除$N(G)$的最高次数。$S\in \bar K(C)$在$P$处既无零点也无极点。

证明：$G=N(G)/\bar G$，由引理20，$\bar G(P)\neq 0\Rightarrow N(G)(x)=0$，因此$N(G)$可被表示为$(u-x)^{s}d(u)$的形式。再令$S=d(u)/\bar G$，则$G$能被写为$(u-x)^{s}S$的形式。由$s$的定义可知$S(P)\neq 0$且$S(P)\neq \infty$。

引理22 令$P(x,y)$是一个在$C$上的特殊点。则$(u-x)$可被写为$(v-y)^{2}\cdot S(u,v)$，其中$S(u,v)\in \bar K(C)$在$P$处既无零点也无极点。

证明：记$H(u,v)=(v-y)^{2} , s(u)=H(u,y)$，显然$s(x)=0 , s^{‘}(u)=f^{‘}(u)-h^{‘}(u)y$，由于$C$是超椭圆曲线，无奇异点，而$P(x,y)$是特殊点，因此$2y+h(u)=0$，因此必有$f^{‘}(x)-h^{‘}(x)y\neq 0$，即$s^{‘}(x)\neq 0$；综上，$(u-x)|H(u,v)$且$(u-x)^{2}\nmid H(u,v)$，可得$S(x,y)\neq 0,\infty$。

引理23(单值化参数的存在性)令$P\in C$，则存在一个函数$U\in\bar K(C) , U(P)=0$使下列性质成立：对于每个多项式函数$G\in \bar K[C]^{*}$，存在整数$d$与函数$S\in\bar K(C)$，使得$S(P)\neq 0,\infty$且$G=U^{d}S$；此外，$d$与$U$的选择无关。$U$称为关于$P$的单值化参数。

证明：太麻烦了，自己看吧！

 

下面利用单值化参数的概念来定义多项式函数在某一点上的阶数。定义26给出了[20]的另一种定义，它更便于用于计算目的。引理27证明这两个定义实际上是等价的。

定义24(多项式函数在一点的阶数的通常定义)令$G\in \bar K[C]^{*} , P\in C , U\in \bar K(C)$是关于$P$的单值化参数，记$G=U^{d}S$，其中$S\in \bar K(C) , S(P)\neq 0,\infty$。$G$的阶在$P$处定义为$ord_{P}(G)=d$。

引理25 令$G_{1} , G_{2}\in \bar K[C]^{*} , P\in C$，记$ord_{P}(G_{1})=r_{1} , ord_{P}(G_{2})=r_{2}$。

$\textrm{(i)}\ ord_{P}(G_{1}G_{2})=ord_{P}(G_{1})+ord_{P}(G_{2})$

$\textrm{(ii)}$若$G_{1}\neq -G_{2}$。若$r_{1}\neq r_{2}$，则$ord_{P}(G_{1}+G_{2})=\textrm{min}(r_{1},r_{2})$，若$r_{1}=r_{2}$则$ord_{P}(G_{1}+G_{2})\geq\textrm{min}(r_{1},r_{2})$

证明：由定义24易证！

定义26(多项式函数在一点的阶数的另一种定义) $G=a-bv\in \bar K[C]^{*} , P\in C$，$G$在$P$处的定义记为$ord_{P}(G)$，定义如下：

$\textrm{(i)}$若$P(x,y)$是有限点，则令$r$为$u-x$能够同时整除$a(u),b(u)$的最高次数，记$G(u,v)=(u-x)^{r}[a_{0}(u)-b_{0}(u)v]$，若$a_{0}(x)-b_{0}(x)y\neq 0$，则令$s=0$；否则，令$s$为$u-x$能整除$N(a_{0}(u)-b_{0}(u)v)=a_{0}^{2}+a_{0}b_{0}h-b_{0}f$。若$P$是一个平凡点，则定义$ord_{P}(G)=r+s$，若$P$是一个特殊点，则定义$ord_{P}(G)=2r+s$。

$\textrm{(ii)}$若$P=\infty$，则$ord_{P}(G)=-max[2deg(a),2g+1+2deg(b)]$。

引理27 定义24与定义26等价。

证明：

 

引理28 令$G\in \bar K[C]^{*} , P\in C$。则$ord_{P}(G)=ord_{\bar P}(\bar G)$。

证明：

 

定理29$G\in \bar K[C]^{*}$。则$G$存在有限个零点与极点；此外，$\sum _{P\in C}ord_{P}(G)=0$。

证明：

 

定义30(有理函数在一点上的阶数)令$R=G/H\in \bar K(C)^{*} , P\in C$，$R$在$P$处的阶数定义为$ord_{P}(R)=ord_{P}(G)-ord_{P}(H)$。

不难证明ordP (R)不依赖于G和H的选择，引理25和定理29对于非零有理函数也成立。