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本节介绍多项式和有理函数的基本性质，这些性质是将它们视为超椭圆曲线上的函数而产生的。

定义8(坐标环，多项式函数)$K$上$C$的坐标环，定义为$K[C]$，是商环

其中$(v^{2}+h(u)v-f(u))$定义为由多项式$v^{2}+h(u)v-f(u)$生成的$K[u,v]$的理想。类似地，$\bar K$上$C$的坐标环定义为

$\bar K[C]$的一个元素称为$C$上的多项式函数。

引理9 $\bar K$上的多项式$r(u,v)=v^{2}+h(u)v-f(u)$不可约，从而$\bar K[C]$是一个整环。

证明：

若$r(u,v)$在$\bar K$可约，那么它将被分解为$(v-a(u))(v-b(u)),a,b\in \bar K[u]$。然而，此时$deg(a\cdot b)=deg(f)=2g+1,deg(a+b)=deg(h)=g$，这是不可能的！

注意到对每个$G(u,v)\in \bar K[C]$，我们可以重复地用$f(u)-h(u)v$替换$v^{2}$直到最终得到如下表示：

显然这种表示是唯一的。

定义10(共轭)令$G(u,v)=a(u)-b(u)v$是$\bar K[C]$的一个多项式函数。$G(u,v)$的共轭被定义为$\bar G(u,v)=a(u)+b(u)[v+h(u)]$。

定义11(范数)令$G(u,v)=a(u)-b(u)v$是$\bar K[C]$的一个多项式函数。$G$的范数为多项式函数$N(G)=G\cdot \bar G$。

范数函数在把关于双变量多项式函数的问题转化为关于单变量多项式的简单问题时非常有用。

引理12(范数的性质)令$G,H\in \bar K[C]$为多项式函数。

$\textrm{(i)}\ N(G)$是$\bar K[u]$的一个多项式；

$\textrm{(ii)}\ N(\bar G)=N(G)$；

$\textrm{(iii)}\ N(GH)=N(G)N(H)$；

证明：$N(G)=a^{2}(u)-b^{2}(u)f(u)+a(u)b(u)h(u)$…基本就是套定义，没有什么思路的难度。

定义13(函数域，有理函数)$K$上$C$的函数域$K(C)$是$K[C]$的分数域。同理，$\bar K$上$C$的函数域$\bar K(C)$是$\bar K[C]$的分数域。$\bar K(C)$的元素被称为$C$上的有理函数。

注意到$\bar K[C]$是$\bar K(C)$的子环，即每个多项式函数也是有理函数。

定义14(有理函数在有限点处的值)令$R\in \bar K(C),P\in C,P\neq \infty$。如果存在多项式函数$G,H\in \bar K[C]$，使得$R=G/H$且$H(P)\neq 0$，则称$R$在$P$处有定义。如果没有这样的$G,H\in \bar K[C]$存在，则$R$在$P$处没有定义。如果$R$在$P$处有定义，则$R$在$P$处的值定义为$R(P)=G(P)/H(P)$。

显然值$R(P)$是定义明确的，即它不取决于$G,H$的选择，下面的定义介绍了多项式函数的次数的概念。

定义15(多项式函数的次数)令$G(u,v)=a(u)-b(u)v$为$\bar K[C]$中非零多项式函数，$G$的次数定义为：

引理16(次数的性质)令$G,H\in \bar K[C]$。

$\textrm{(i)}\ deg(G)=deg(N(G))$；

$\textrm{(ii)}\ deg(GH)=deg(G)+deg(H)$；

$\textrm{(iii)}\ deg(G)=deg(\bar G)$；

证明：

$\textrm{(i)}N(G)=a^{2}-b^{2}f+abh,deg(N(G))=max[deg(G),deg(a)+deg(b)+g]$，因此只需证$deg(a)+deg(b)+g$必小于$2deg(a)$与$2g+1+2deg(b)$其中一个。

$\textrm{(ii)}$结合$\textrm{(i)}$与引理$12\ \textrm{(iii)}$的结论，$deg(GH)=deg(N(GH))=deg(N(G)N(H))=deg(N(G))+deg(N(H))=deg(G)+deg(H)$

$\textrm{(iii)}$结合$\textrm{(i)}$与引理$12\ \textrm{(ii)}$的结论…

定义17(有理函数在$\infty$处的值)令$R=G/H\in \bar K(C)$是一个有理函数。

$\textrm{(i)}$若$deg(G)<deg(H)$则$R$在$\infty$处的值被定义为$R(\infty)=0$；

$\textrm{(ii)}$若$deg(G)>deg(H)$则$R$在$\infty$处的无定义；

$\textrm{(iii)}$若$deg(G)=deg(H)$则$R(\infty)$被定义为$G$与$H$的首项系数的比值。