文章目录

定义1(超椭圆曲线)设$K$是一个域，$\bar K$是$K$的代数闭包。$K$上类为$g$的超椭圆曲线定义为如下等式：

其中$h(u)\in K[u]$是次数不超过$g$的多项式，$f(u)\in K[u]$是次数为$2g+1$的首项系数为$1$多项式，并且不存在解$(u,v)\in \bar K\times\bar K$同时满足方程$v^{2}+h(u)v=f(u)\ \textrm{in}\ K[u,v]$与两个偏微分方程$2v+h(u)=0,h^{‘}(u)v-f^{‘}(u)=0$。

所谓$C$上的奇异点是一个解$(u,v)\in \bar K\times\bar K$同时满足上述三个方程。定义$1$表明超椭圆曲线没有任何奇异点。

对于本文的其余部分，假设域$K$和曲线$C$已经固定。

引理1 令$C$是$K$上如式$(1)$定义的超椭圆曲线；

$(\textrm{i})$ 若$h(u)=0$，则$char(K)\neq 2$；

$(\textrm{ii})$ 若$char(K)\neq 2$，则变量替换$u\rightarrow u,v\rightarrow (v-h(u)/2)$将$C$转换为形式$v^{2}=f(u)$，其中$f$的次数为$2g+1$；

$(\textrm{iii})$ 令$C$是形如$(1)$的等式且$h(u)=0,char(K)\neq 2$，则$C$是超椭圆曲线当且仅当$f(u)$在$\bar K$上没有重根；

证明：

$(\textrm{i})$假设$char(K)=2$，则任意的$x\in K , 2x=0$，因此要成为曲线$C$上的奇异点只需要满足如下两个等式即可：

先求满足$f^{‘}(u)=0$的根$u_{0}$，再求满足$v^{2}=f(u_{0})$的根$v_{0}$，从而得到曲线$C$的奇异点$(u_{1},v_{0})$；这与$C$是超椭圆曲线矛盾。

$(\textrm{ii})$经变量替换，$C$的形式为：$(v-\frac {h(u)} {2})^{2}=f(u)\Rightarrow v^{2}=f(u)-\frac {h^{2}(u)} {4}$，而$deg(h)\leq g\Rightarrow deg(f(u)-\frac {h^{2}(u)} {4})=2g+1$。

$(\textrm{iii}) 当h(u)=0,char(K)\neq 2$时，$C$有奇异点等价于存在$(u,v)\in \bar K\times\bar K$，满足：

等价于：

因此，$C$有奇异点等价于存在$u\in \bar K$，满足：

即$f$有重根；因此，$C$是超椭圆曲线等价于$f$无重根。

定义3(有理点，无限点，有限点)设$L$是$K$的扩展域。$C$上$L$有理点的集合，记为$C(L)$，是满足曲线$C$的等式$(1)$的所有点$P(x,y)\in L\times L$连同一个在无穷远处的特殊点(记为$\infty$)，点集$C(\bar K)$简单地被$C$定义，$C$上异于$\infty$的点称为有限点。

例4(实数域上的超椭圆曲线)如下是实数域上的超椭圆曲线的三个例子，每条曲线类$g=2$且$h(u)=0$。

$(\textrm{i})\ C_{1}:\ v^{2}=u^{5}+u^{4}+4u^{3}+4u^{2}+3u+3=(u+1)(u^{2}+1)(u^{2}+3)$，$C_{1}$在实平面的图像如图$1$所示；

 

$(\textrm{ii})\ C_{2}:\ v^{2}=u^{5}+u^{4}-u^{2}-u=u(u-1)(u+1)(u^{2}+u+1)$，$C_{2}$在实平面的图像如图$2$所示；

 

$(\textrm{iii})\ C_{3}:\ v^{2}=u^{5}-5u^{3}-u^{2}+4u=u(u-1)(u+1)(u-2)(u+2)$，$C_{3}$在实平面的图像如图$3$所示；

 

定义5(相反点、特殊点和平凡点)令$P(x,y)$是曲线$C$上的一个有限点。$P$的相反点是$\bar P(x,-y-h(x))$。(注意到$\bar P$确实在$C$上。)我们同样定义$\infty$的相反点$\bar \infty=\infty$为他的本身。若一个有限点$P$满足$P=\bar P$，则该点被称为特殊的；否则，该点被称为平凡的。

例6($Z_{7}$上的超椭圆曲线)考虑有限域$Z_{7}$上的曲线$C:v^{2}+uv=u^{5}+5u^{4}+6u^{2}+u+3$。这里，$h(u)=u,f(u)=u^{5}+5u^{4}+6u^{2}+u+3$且$g=2$，可以证明$C$没有奇异点(除了$\infty$)，因此$C$确实是一个超椭圆曲线。$C$上的$Z_{7}$有理点为$C(Z_{7})={\infty,(1,1),(1,5),(2,2),(2,3),(5,3),(5,6),(6,4)}$，点$(6,4)$是一个特殊点。

例7($F_{2^{5}}$上的超椭圆曲线)考虑有限域$F_{2^{5}}=F_{2}[x]/(x^{5}+x^{2}+1)$，并且令$\alpha$是本原多项式$x^{5}+x^{2}+1$在$F_{2^{5}}$的根。$\alpha$的指数如表$1$所示。

 

考虑有限域$F_{2^{5}}$上类$g=2$曲线$C: v^{2}+(u^{2}+u)v=u^{5}+u^{3}+1$，这里$h(u)=u^{2}+u,f(u)=u^{5}+u^{3}+1$，可以证明$C$没有奇异点(除了$\infty$)，因此$C$实际上是一个超椭圆曲线。$C(F_{2^{5}})$中的有限点如下：

 

其中，点$(0,1),(1,1)$是特殊的。